Método de LUX

Suponga que está intentando construir un cuadrado que tiene n casillas por lado. n es par, no es múltiplo de 4 y es mayor que 2. Por lo tanto, se puede escribir n = 4k + 2, con k>=1. Por ejemplo, en nuestro caso, en que n=14, k=3. Si n fuese 22, entonces sería k=5 porque 22 = 4*5 + 2. La forma práctica de hallar k es dividir n entre 4 y quedarse sólo con la parte entera. Aplicando esto, en el hipotético caso de que Ud. se vuelva loco y quiera construir un cuadrado mágico de 4002 casillas de lado, para hallar k divide 4002 entre 4, con lo que obtiene que k es 1000.
Dibuje su cuadrado, y divídalo en subcuadrados de 2x2, como se ve en la figura siguiente.

Por ahora olvídese de las casillas originales y piense en los subcuadrados como nuevas casillas. Ahora está trabajando con un cuadrado que tiene 2k+1 subcuadrados por lado. En el caso del ejemplo, son 7 subcuadrados por lado. Observe de paso que como 2k+1 es un número par al que se le ha sumado 1, tiene que ser impar.
A cada subcuadrado se le asignará una letra, una L, una U o una X, como veremos a continuación.

- A los subcuadrados de las k+1 filas de arriba se les asigna la letra L. (En el ejemplo, a los subcuadrados de las 4 filas superiores, ya que k era 3)
- A los subcuadrados de la fila que está más arriba de las que aún no tienen letras asignadas, se les asigna la letra U. (En el ejemplo, se le asigna U a todos los subcuadrados de la 5a fila contando desde arriba).
- A los subcuadrados de las filas restantes se les asigna la letra X (En el ejemplo, son las dos filas inferiores). Observe que si está intentando hacer un cuadrado de 6x6, ninguna fila lleva Xs.

El próximo paso consiste en intercambiar la U que está en el centro de la fila de las Ues con la L que está inmediatamente encima de ella, como muestra la figura siguiente:

Los números se ingresarán en el cuadrado en su orden natural, primero el 1, luego el 2, etc, en grupos de a cuatro, completando los subcuadrados uno por uno. El método consiste en primeramente, identificar cuál subcuadrado debe completar en cada paso, y luego, cómo debe completar el subcuadrado.
Empecemos por esto último. La forma de completar cada subcuadrado depende de la letra que tenga. La siquiente figura esquematiza el procedimiento.

Esto significa:
Un subcuadrado que tenga la letra L, llevará el menor número de los cuatro que van en él (marcado como 1), en la esquina superior derecha, el siguiente (marcado como 2) en la esquina inferior izquierda, el siguiente (marcado como 3) en la esquina inferior derecha y el mayor (marcado como 4) en la esquina superior izquierda.
Creo que la figura es clara en cuanto se refiere a la U y a la X.

Ahora sólo falta saber cómo ir seleccionando los subcuadrados. La respuesta es que si miramos los subcuadrados como casillas, vemos un cuadrado de lado impar, lo que nos habilita a irlos eligiendo con el método de La Loubère, que es lo que se debe hacer.
La figura siguiente muestra el cuadrado de 14x14 una vez construído. Los colores se refieren al método de La Loubère, como el lector sabrá apreciar.
Se comienza en el subcuadrado del centro superior (en amarillo), completándolo según la norma de las Ls, se sigue en el amarillo de la fila inferior (La Loubère lo marca así), completándolo según la norma de las Xs, etc.

Método de La X

Con este método podrá construir cuadrado mágicos cuyos lados tengan un número múltiplo de 4 de casillas.
Para hacerlo, dibuje su cuadrado, coloque los números comenzando por el 1 en su orden natural desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha, como se escribe en español. Divida el cuadrado en subcuadrados de 4x4 como muestra la figura, que es parte de la construcción de un cuadrado de 8x8, y dibuje una "X" en cada subcuadrado, de modo que su centro coincida con el centro del subcuadrado que la contiene.

Los números no "tocados" por las X (en negro en la figura) quedarán en las casillas en que se encuentran, mientras que los "tocados" por las X, serán movidos. La forma de hacer ese movimiento es simetrizar con respecto al centro del cuadrado total los números "tocados" o, lo que es igual, invertir el orden en que han sido colocados en el cuadrado. La figura muestra cómo hacerlo en nuestro caso, lo que da el cuadrado mágico ya construido.

Método de La Loubére

Con este método se podrá construir un cuadrado mágico que tenga un número impar o par de casillas de lado.

El procedimiento es el siguiente:
Dibuje su cuadrado, con las casillas marcadas, (la cantidad que desee). En todo lo que sigue deberá imaginar que el cuadrado tiene sus lados opuestos unidos:

- el superior con el inferior, y

- el izquierdo con el derecho

De modo que si usted se encuentra en la casilla de la esquina superior izquierda y se desplaza "una casilla hacia arriba", quedará en la casilla de la esquina inferior izquierda, y que los números se colocarán en el cuadrado por su orden. El primero en colocarse será el 1, luego se colocará el 2, etc.

En la figura se ve la construcción de un cuadrado mágico de 5x5. Daré los pasos a seguir en el caso general y su aplicación a este caso particular, que usted podrá ir siguiendo en la figura.
A -Coloque el número 1 en la casilla del medio de la fila superior.
(En la figura se ve que es ahí exactamente donde está el 1)

B -Para colocar el número siguiente, desplácese una casilla hacia arriba y una hacia la derecha. Si el número que intenta colocar queda fuera del cuadrado, recuerde que debe considerar unidos los bordes de éste. Continúe aplicando este paso hasta que se encuentre con que no puede colocar el número correspondiente porque en la casilla que va ya hay un número.
En la figura las flechas azules marcan la manera de moverse para ir colocando los números consecutivos. Habíamos colocado el 1 en la casilla del medio de la fila superior. Al intentar colocar el 2, se ve que queda fuera del cuadrado (en rojo). La flecha punteada roja que sale de él muestra dónde debe colocarlo finalmente (en negro), debido a que considera que los bordes inferior y superior del tablero están unidos. Coloque ahora el 3, moviéndose una casilla arriba y una a la derecha desde el 2, luego el 4, que queda fuera del cuadrado, donde muestra la flecha roja punteada que sale de él y usted ya habrá entendido que correspondía (no volveré a mencionar qué hacer si un número queda fuera del cuadrado, salvo en un caso), y luego coloque el 5, una casilla arriba y una a la derecha del 4.

C -Si al intentar colocar un número con la regla anterior se encuentra con que no puede hacerlo debido a que la casilla en que iría está ocupada, entonces colóquelo en la casilla que está inmediatamente abajo de la del último número que colocó.
Al intentar colocar el 6, vemos que le correspondería ir en la casilla que ya está colocado el 1. Entonces debemos colocarlo exactamente debajo del 5, que fue el último colocado. La flecha violeta muestra esto.

D -Complete el cuadrado aplicando la regla B, y cuando no pueda hacerlo, aplique la regla C.
Luego de colocado el 6, colocamos el 7, el 8, el 9, y el 10 con la regla B. Para colocar el 11 debo aplicar la regle C. La regla B permite colocar el 12, el 13, el 14 y el 15. Observe cuidadosamente lo que pasa al intentar colocar el 16, y convénzase de que el lugar que ocupa el 16 en rojo de la figura es correspondiente de la casilla de la esquina inferior izquierda, donde ya está el 11. Por lo tanto, debe colocar el 16 en la casilla inmediatamente debajo del 15, según la regla C. Con la regla B, coloque el 17, el 18, el 19 y el 20. Para colocar el 21 debe usar la regla C, y completa el cuadrado colocando los números 22, 23, 24 y 25 usando la regla B.

Estrategias

A continuación les daremos algunos de los métodos o estrategias para resolver los cuadrados mágicos, los cuales pueden ser:

Método de La Loubère
Método de las X
Método Lux

Cuadrados Mágicos

1) El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar en los niños los siguientes conceptos y habilidades:

• El concepto de orden en los números naturales


• Practicar las operaciones aritméticas básicas


• Establecer relaciones numéricas


• Determinar y crear patrones


• Desarrollar estrategias para la resolución de problemas


• Generalizar


• Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento

2) Un cuadrado mágico es una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o, en general, de n x n, consta en que la suma de los números en las dos diagonales principales es igual a la suma de los números de cualquier hilera del cuadrado.

3) Al sumar los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama constante mágica.Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica:

• Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar cualquier renglón o columna o diagonal.
• Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números que se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre el orden de éste.Por ejemplo: en un cuadrado mágico de orden 3 los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágico es acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizaren su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumarlos números de cualquiera de las diagonales; el resultado será la constante mágica de ese cuadrado.